भौतिक विज्ञान | PHYSICS
अध्याय — 2
सदिश तथा अदिश
Vector & Scalar
📌 परिभाषाएं
📐 सूत्र
✏️ हल उदाहरण
📊 Diagrams
📝 Numerical Questions
The Pi Path
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भौतिक विज्ञान
Chapter 2 : Vector & Scalar
📘 1. परिभाषाएं (Definitions)
➤ सदिश (Vector)
सदिश (Vector) : वैसी भौतिक राशि जिसमें दिशा और परिमाण (Magnitude) दोनों हो सदिश राशि कहलाती है।
यह साधारण बीजगणित (Simple Algebra, Bric, Mathematics) के नियमों का पालन नहीं करती है।
➤ अदिश (Scalar)
अदिश (Scalar) : वैसी भौतिक राशि जिसमें केवल परिमाण हो, दिशा नहीं हो, अदिश राशि कहलाती है।
यह साधारण बीजगणित के नियमों का पालन करती है।
📊 सदिश बनाम अदिश (Vector vs Scalar)
| सदिश (Vector) | अदिश (Scalar) |
|---|---|
| विस्थापन, वेग, त्वरण | द्रव्यमान, कार्य, ऊर्जा शक्ति |
| विद्युतीय क्षेत्र, बल, संवेग | क्षेत्रफल, घनत्व, चाल, दाब |
| आवेग, चुम्बकीय क्षेत्र तथा धारा घनत्व | आयतन, दूरी, समय, विभव, ताप तथा धारा |
भौतिक विज्ञान
Representation of a Vector
📐 2. सदिशों का निरूपण (Representation of a Vector)
सदिशों को निरूपित करने के लिए किसी भी भौतिक राशि के ऊपर तीर के चिन्ह (⃗) का प्रयोग किया जाता है।
तीर का माथा उसकी दिशा को बताती है तथा उसकी लम्बाई उसके परिमाण को बताती है।
यही सदिश का निरूपण है
(Magnitude)
Ex : Ā (A के ऊपर arrow → सदिश) | |Ā| या A (केवल परिमाण)
भौतिक विज्ञान
Vector Algebra — Laws of Addition
➕ 3. सदिशों का बीजगणित (Vector Algebra) — सदिशों के जोड़ का नियम
(A) त्रिभुज का नियम (Law of Triangle)
यदि दो सदिश Ā और B̄ को एक के बाद एक (head to tail) रखें तो उनका परिणामी R̄ = Ā + B̄ पहले सदिश के tail से दूसरे सदिश के head तक होता है।
R̄ = Ā + B̄ (तीसरी भुजा = Resultant)
R̄ = Ā + B̄ (R = Resultant / परिणाम)
(B) समांतर चतुर्भुज का नियम (Law of Parallelogram)
यदि कोई दो सदिश Ā और B̄ एक ही बिन्दु से निकले हों और एक दूसरे से θ कोण पर हों तो उनका परिणामी R̄ उसी बिन्दु से बना समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है।
Law of Parallelogram
Ā और B̄ एक बिन्दु O से, R̄ = विकर्ण OC
R = √(A² + B² + 2AB cosθ)
−1 ≤ cosθ ≤ 1
|Ā + B̄| = √(A² + B² + 2AB cosθ)
|Ā − B̄| = √(A² + B² − 2AB cosθ)
θ = Ā तथा B̄ के बीच का कोण है।
दो सदिशों के परिणामी का परिमाण कभी भी शून्य नहीं हो सकता और न ही ऋणात्मक।
Q. यदि किसी वस्तु पर पूरब की दिशा में 3N का बल लगता है तथा उत्तर की दिशा में 4N का बल लगता है तो परिणामी बल क्या होगा?
θ = 90°, R = 5N
Sol :
θ = 90°, A = 3N, B = 4N
R = √(A² + B² + 2AB cosθ)
R = √(3² + 4² + 2×3×4×cos90°)
R = √(9 + 16 + 2×3×4×0)
R = √(9 + 16 + 0) = √25
R = √(A² + B² + 2AB cosθ)
R = √(3² + 4² + 2×3×4×cos90°)
R = √(9 + 16 + 2×3×4×0)
R = √(9 + 16 + 0) = √25
∴ R = 5 N
Q. यदि दो सदिशों का परिमाण समान हो तथा उसके परिणामी का परिमाण भी सदिश के समान हो तो उनके बीच का कोण क्या होगा?
Sol :
A = B = R = x (माना)
R² = A² + B² + 2AB cosθ
x² = x² + x² + 2x·x cosθ
x² = 2x² + 2x² cosθ ⟹ x² = x²(2 + 2cosθ)
1 = 2 + 2cosθ ⟹ 2cosθ = −1
cosθ = −1/2 ⟹ cosθ = cos 120°
R² = A² + B² + 2AB cosθ
x² = x² + x² + 2x·x cosθ
x² = 2x² + 2x² cosθ ⟹ x² = x²(2 + 2cosθ)
1 = 2 + 2cosθ ⟹ 2cosθ = −1
cosθ = −1/2 ⟹ cosθ = cos 120°
∴ θ = 120°
भौतिक विज्ञान
Important Questions
🔢 4. महत्वपूर्ण प्रश्न एवं हल
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
Q. यदि Ā + B̄ = Ā − B̄ हो तो A और B के बीच का कोण क्या होगा?
Sol :
Ā + B̄ = Ā − B̄ ⟹ mode on both sides
|Ā + B̄| = |Ā − B̄|
√(A²+B²+2AB cosθ) = √(A²+B²−2AB cosθ)
⟹ +2AB cosθ = −2AB cosθ
⟹ 4AB cosθ = 0 ⟹ cosθ = 0 ⟹ cosθ = cos 90°
|Ā + B̄| = |Ā − B̄|
√(A²+B²+2AB cosθ) = √(A²+B²−2AB cosθ)
⟹ +2AB cosθ = −2AB cosθ
⟹ 4AB cosθ = 0 ⟹ cosθ = 0 ⟹ cosθ = cos 90°
∴ θ = 90°
Note : R = √(A²+B²+2AB cosθ) (−1 ≤ cosθ ≤ 1)
• Put cosθ = +1 ⟹ Rmax = √(A+B)² ⟹ Rmax = A + B
• Put cosθ = −1 ⟹ Rmin = √(A−B)² ⟹ Rmin = A − B
• Put cosθ = +1 ⟹ Rmax = √(A+B)² ⟹ Rmax = A + B
• Put cosθ = −1 ⟹ Rmin = √(A−B)² ⟹ Rmin = A − B
Rmax = A + B
Rmin = A − B
Q. अगर किसी वस्तु पर 3N और 4N का बल आरोपित हो रहा है तो निम्न में से कौन-सा परिणामी का परिमाण नहीं हो सकता?
(a) 2N(b) 5N
(c) 6N(d) 8N ✓
Sol : A = 4N, B = 3N
Rmax = 4+3 = 7N | Rmin = 4−3 = 1N
1 और 7 के बीच होगा, इसलिए 8 नहीं होगा।
Rmax = 4+3 = 7N | Rmin = 4−3 = 1N
1 और 7 के बीच होगा, इसलिए 8 नहीं होगा।
∴ Answer : (d) 8N — नहीं हो सकता
भौतिक विज्ञान
Right Angled Unit Vectors
🧭 5. समकोणीय एकांक सदिश (Right Angled Unit Vectors)
भौतिक में x को î, y को ĵ तथा z को k̂ से निरूपित किया जाता है।
x→î, y→ĵ, z→k̂
उदाहरण — Examples
Ex : यदि Ā = 3î + 8ĵ + 5k̂ तो,
x-अक्ष में परिमाण = 3
y-अक्ष में परिमाण = 8
z-अक्ष में परिमाण = 5
Ā का परिमाण = √(3² + 8² + 5²) = √(9+64+25) = √98
y-अक्ष में परिमाण = 8
z-अक्ष में परिमाण = 5
Ā का परिमाण = √(3² + 8² + 5²) = √(9+64+25) = √98
Ex : यदि B̄ = 3î + 9ĵ + 5k̂ तो,
x-अक्ष में परिमाण = 3
y-अक्ष में परिमाण = 9
z-अक्ष में परिमाण = 5
y-अक्ष में परिमाण = 9
z-अक्ष में परिमाण = 5
भौतिक विज्ञान
Multiplication of Vectors
✖️ 6. सदिशों का गुणनफल (Multiplication of Vectors)
(A) अदिश गुणनफल — Scalar Product · (Dot Product)
सदिशों के अदिश गुणनफल को Dot (·) से सूचित किया जाता है।
Ā · B̄ = AB cosθ
Ā · B̄ = AB cosθ
जहाँ θ, A और B के बीच का कोण है।
सदिशों का अदिश गुणनफल एक अदिश राशि होता है।
(B) सदिश गुणनफल — Vector Product × (Cross Product)
सदिशों के सदिश गुणनफल को Cross (×) से सूचित किया जाता है।
n̂ = तल के लम्बवत् सदिश (⊙ = out of page)
Ā × B̄ = AB sinθ n̂ (n̂ = तल के लम्बवत् सदिश)
सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश राशि होता है।
Q. सदिशों का गुणनफल होता है।
(a) सदिश(b) अदिश
(c) सदिश या अदिश ✓(d) सदिश और अदिश
उत्तर− (c)
Q. यदि Ā = 3î+4ĵ+8k̂ हों और B̄ = 4î+6ĵ+9k̂ हो तो A और B का अदिश गुणनफल क्या होगा?
Sol :
Ā = 3î+4ĵ+8k̂ B̄ = 4î+6ĵ+9k̂
Ā·B̄ = (3×4)+(4×6)+(8×9) = 12+24+72 = 108
Ā·B̄ = (3×4)+(4×6)+(8×9) = 12+24+72 = 108
∴ Ā·B̄ = 108 Ans.
भौतिक विज्ञान
Dissociation of Vector
🔀 7. सदिशों का वियोजन (Dissociation of Vector)
किसी सदिश के प्रभाव को दो या दो से अधिक दिशाओं में व्यक्त करने की प्रक्रिया को सदिशों का वियोजन कहते हैं।
F=10N, θ=30°
x = Fcosθ | y = Fsinθ
x-अक्ष की दिशा में परिमाण = F cosθ
y-अक्ष की दिशा में परिमाण = F sinθ
Q. नीचे दिए गए चित्र में x-अक्ष तथा y-अक्ष में परिमाण क्या होगा? (F = 10N, θ = 30°)
Sol :
x-अक्ष की दिशा में परिमाण,
= F cosθ = 10 cos30° = 10 × √3/2 = 5√3 N
y-अक्ष की दिशा में परिमाण,
= F sinθ = 10 sin30° = 10 × 1/2 = 5N
= F cosθ = 10 cos30° = 10 × √3/2 = 5√3 N
y-अक्ष की दिशा में परिमाण,
= F sinθ = 10 sin30° = 10 × 1/2 = 5N
∴ x = 5√3 N | y = 5N Ans.
भौतिक विज्ञानNumerical Questions
📝 Numerical Questions
TYPE - 1
R = √(A²+B²+2AB cosθ) −1 ≤ cosθ ≤ 1
|Ā+B̄| = √(A²+B²+2AB cosθ)
|Ā−B̄| = √(A²+B²−2AB cosθ)
1. दिया है, कि (Ā+B̄=R̄) तथा A=B=R हो, तो A एवं B के बीच का कोण क्या होगा? RRB Group-D 2018
(a) 0°(b) π/3
(c) 2π/3 ✓(d) π
Sol :
दिया है, Ā+B̄=R̄, A=B=R (given)
R² = A²+B²+2AB cosθ
R² = R²+R²+2R² cosθ ⟹ −R² = 2R² cosθ
cosθ = −1/2 ⟹ cosθ = cos(2π/3)
R² = A²+B²+2AB cosθ
R² = R²+R²+2R² cosθ ⟹ −R² = 2R² cosθ
cosθ = −1/2 ⟹ cosθ = cos(2π/3)
∴ θ = 2π/3
Q. 12N तथा 8N परिमाण के दो बल एक वस्तु पर कार्यरत है। परिणामी बल का अधिकतम मान है। RRB ALP/Tech. 2014
(a) 4N(b) 0N
(c) 20N ✓(d) 8N
Sol : Rmax = A+B = 12+8 = 20N
∴ Rmax = 20 N
भौतिक विज्ञानNumerical Questions — Type 2 & 3
TYPE - 2
|Ā| = √(Ax²+Ay²+Az²)
2. Ā = 3î+4ĵ का परिमाण क्या होगा? RRB Group-D 2018
Sol : x=3, y=4, z=0
|Ā| = √(9+16+0) = √25
|Ā| = √(9+16+0) = √25
∴ |Ā| = 5 Ans.
3. B̄ = 4î+6ĵ+2k̂ हो तो B̄ का परिमाण ज्ञात करें।
Sol : |B̄| = √(16+36+4) = √56
∴ |B̄| = √56
1. सदिश 3î+4k̂, y-अक्ष पर प्रक्षेप होगा— RRB JE 2015
(a) 3(b) 4
(c) 3(d) शून्य ✓
Sol : y-अक्ष में ĵ का coefficient = 0 (है ही नहीं)
∴ Answer : (d) शून्य
2. एक बल 2î+3ĵ+6k̂ द्वारा प्रदर्शित होता है। इस बल का परिमाण क्या है? RRB JE/Sr.Se Bhopal 2014
(a) 5 मात्रक(b) 7 मात्रक ✓
(c) 9 मात्रक(d) 11 मात्रक
Sol : |F̄| = √(4+9+36) = √49 = 7 मात्रक
∴ Answer : (b) 7 मात्रक
3. दो सदिश 4î+7ĵ तथा 2î+3ĵ जोड़े जाते हैं। इन सदिशों के योग का परिमाण है? SSC स्नातक स्तरीय परीक्षा-2001
(a) 36(b) 100
(c) √136 ✓(d) 136
Sol :
Ā=4î+7ĵ, B̄=2î+3ĵ
Ā+B̄ = 6î+10ĵ
|Ā+B̄| = √(36+100) = √136
Ā+B̄ = 6î+10ĵ
|Ā+B̄| = √(36+100) = √136
∴ Answer : (c) √136
TYPE - 3
Ā · B̄ = AB cosθ
Ā × B̄ = AB sinθ n̂
1. यदि p̄=3î−4ĵ+k̂ तथा r̄=5î−6ĵ+6k̂ हो, तो कोणीय संवेग का मान है? SSC, C.P.O. परीक्षा-2015
(a) 6î+2ĵ−3k̂
(b) +18î+13ĵ−2k̂ ✓
(c) 4î−13ĵ+6k̂
(d) इनमें से कोई नहीं
Sol : कोणीय संवेग = p̄ × r̄
| î ĵ k̂ |
p̄×r̄ = | 3 −4 1 |
| 5 −6 6 |
= î[(−4×6)−(1×−6)] − ĵ[(3×6)−(1×5)] + k̂[(3×−6)−(−4×5)]
= î[−24+6] − ĵ[18−5] + k̂[−18+20]
= [−24−(−6)]î − [18−5]ĵ + [−18−(−20)]k̂
= −18î − 13ĵ + 2k̂
| î ĵ k̂ |
p̄×r̄ = | 3 −4 1 |
| 5 −6 6 |
= î[(−4×6)−(1×−6)] − ĵ[(3×6)−(1×5)] + k̂[(3×−6)−(−4×5)]
= î[−24+6] − ĵ[18−5] + k̂[−18+20]
= [−24−(−6)]î − [18−5]ĵ + [−18−(−20)]k̂
= −18î − 13ĵ + 2k̂
∴ = −18î − 13ĵ + 2k̂
2. यदि Ā=3î+4ĵ और B̄=4î−3ĵ तो A और B के बीच का कोण क्या होगा? BPSC (Pre) 2018
Sol :
Ā·B̄ = 12−12 = 0
|Ā|=5, |B̄|=5
Ā·B̄ = AB cosθ → 0 = 25 cosθ → cosθ = 0
|Ā|=5, |B̄|=5
Ā·B̄ = AB cosθ → 0 = 25 cosθ → cosθ = 0
∴ θ = 90° Ans.
3. यदि सदिशों का सदिश गुणनफल, सदिशों के अदिश गुणनफल का √3 गुना हो तो सदिशों के बीच का कोण क्या होगा? RRB ALP/Tech. 2014
Sol :
Ā×B̄ = √3 Ā·B̄ → AB sinθ = √3 AB cosθ
tanθ = √3 → tanθ = tan 60°
tanθ = √3 → tanθ = tan 60°
∴ θ = 60° Ans.
4. इनमें से कौन-सी राशि सदिश नहीं है? RRB NTPC, 09.03.2021
(a) शक्ति ✓
(b) बल आघूर्ण
(c) विस्थापन
(d) त्वरण
∴ Answer : (a) शक्ति उत्तर-(a)
भौतिक विज्ञानQuick Revision
⚡ Quick Revision — Key Formulas
| सूत्र / Formula | विवरण / Description |
|---|---|
| R = √(A²+B²+2AB cosθ) | परिणामी बल का परिमाण |
| |Ā+B̄| = √(A²+B²+2AB cosθ) | सदिशों का योग (Vector addition) |
| |Ā−B̄| = √(A²+B²−2AB cosθ) | सदिशों का अंतर (Vector subtraction) |
| Rmax = A+B (θ=0°) | अधिकतम परिणामी |
| Rmin = A−B (θ=180°) | न्यूनतम परिणामी |
| Ā · B̄ = AB cosθ | Dot Product — अदिश गुणनफल |
| Ā × B̄ = AB sinθ n̂ | Cross Product — सदिश गुणनफल |
| |Ā| = √(Ax²+Ay²+Az²) | सदिश का परिमाण |
| Fx = F cosθ, Fy = F sinθ | सदिश वियोजन (components) |
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