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📏 दूरी और विस्थापन (Distance & Displacement)
न्यूनतम दूरी = विस्थापन (Displacement)
- दूरी (Distance) : किसी खास समय में चले गये पथ की कुल लंबाई को दूरी कहते हैं।
- दूरी एक "अदिश" राशि है।
- दूरी का SI मात्रक "मीटर" होता है।
- विस्थापन (Displacement) : न्यूनतम दूरी को विस्थापन कहते हैं।
- विस्थापन "सदिश" राशि है।
- विस्थापन का SI मात्रक "मीटर" होता है।
- दूरी और विस्थापन का अनुपात हमेशा 1 से बड़ा या बराबर होता है। NCERT
दूरी
विस्थापन
≥ 1
विस्थापन
दूरी
≤ 1
Q.
नीचे दिये गये चित्र में दूरी और विस्थापन का अनुपात क्या होगा ?
Sol :
दूरी = 4 + 3 + 4 + 3 = 14m
विस्थापन = 5 + 5 = 10m
दूरी
विस्थापन
=
14
10
= 7/5
∴ दूरी : विस्थापन = 7 : 5
Q.
अगर कोई गाय किसी वृत्ताकार पथ पर 2½ चक्कर लगाती है तो गाय द्वारा तय की गई दूरी और विस्थापन क्या होगा? अगर वृत्ताकार पथ की त्रिज्या 7m हो।
Sol :
विस्थापन = 7 + 7 = 14m
दूरी = 2πr × 2½
= 2 × 22/7 × 7 × 5/2
= 110m
Q.
अगर किसी वस्तु को 5m की ऊँचाई तक फेंका जाता है और वह वस्तु पुन: पूर्वावस्था में आ जाती है, तो दूरी और विस्थापन का अनुपात क्या होगा?
Sol :
विस्थापन = 0
दूरी = 10m
दूरी
विस्थापन
=
10
0
= ∞ or 10 : 0
Q.
एक पिण्ड द्वारा 23 मीटर त्रिज्या तथा 144.51 मीटर परिधि वाले वृत्ताकार पथ पर एक चक्कर लगाता है तो दूरी और विस्थापन क्या होगा?
Sol :
पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी = वृत्ताकार पथ की परिधि = 144.51 मीटर
एक चक्कर लगाने के बाद पिण्ड का विस्थापन = बिन्दु A से बिन्दु A तक की दूरी = 0 (शून्य)
📊 दूरी तथा विस्थापन में अन्तर (Difference)
| दूरी (Distance) | विस्थापन (Displacement) |
|---|---|
| दूरी केवल परिमाण को व्यक्त करता है। | विस्थापन परिमाण तथा दिशा दोनों को व्यक्त करता है। |
| दूरी सदैव धनात्मक या शून्य होती है। | विस्थापन धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्य भी हो सकता है। |
| यह अदिश राशि है। | यह सदिश राशि है। |
⚡ चाल (Speed)
एकांक समय में तय की गई दूरी को चाल कहते हैं।
चाल =
दूरी
समय
- इसका S.I. मात्रक = m/s होता है।
- यह एक 'अदिश' राशि है।
🚀 वेग (Velocity)
एकांक समय (Unit time) में तय किए गए विस्थापन को वेग कहते हैं।
वेग =
विस्थापन
समय
- इसका S.I. मात्रक m/s होता है।
- यह एक "सदिश" राशि है।
वेग (Velocity)
↓
प्रारंभिक वेग
(Initial Velocity)
(u)
(Initial Velocity)
(u)
अंतिम वेग
(Final Velocity)
(v)
(Final Velocity)
(v)
⚡ त्वरण (Acceleration)
वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
त्वरण =
वेग में परिवर्तन
समय
a =
v − u
t
- त्वरण का SI मात्रक = ms⁻¹/s = ms⁻²
- त्वरण का विमा = [LT⁻²] = [M⁰LT⁻²]
📌 महत्वपूर्ण तथ्य
- वेग एकसमान होने से त्वरण का मान शून्य होगा।
- u < v → त्वरण (Acceleration)
- u > v → मंदन (Retardation)
- मंदन को लिखने के लिए ऋणात्मक चिन्ह का प्रयोग नहीं करते हैं।
Ex: वेग एकसमान → त्वरण = 0
| प्रारंभिक वेग (u) | अंतिम वेग (v) | समय (t) | परिणाम (Result) |
|---|---|---|---|
| 10 m/s | 20 m/s | 2sec | त्वरण, a = (v−u)/t = (20−10)/2 = 5m/s² |
| 20 m/s | 10 m/s | 2sec | मंदन, a = (v−u)/t = (10−20)/2 = −5m/s² |
Q.
अगर किसी कार की प्रारंभिक चाल 72km/h है और 5sec के बाद ब्रेक लगा दिया जाता है तो उस कार पर मंदन का मान ज्ञात करें।(a) 4m/s² (b) −4m/s² (c) 6m/s² (d) None उत्तर-(a)
Sol :
u = 72 × 5/18 = 20 m/s
v = 0 (ब्रेक लगाने पर)
a = (v−u)/t = (0−20)/5 = −4 m/s²
Note :
मंदन लिखने के लिए ऋणात्मक चिन्ह का प्रयोग नहीं करते, इसलिए उत्तर 4 m/s² है।
↕️ उदग्र (Vertical) गति
नीचे की ओर
a = +g (नीचे की ओर)
ऊपर की ओर
a = −g (ऊपर की ओर)
• विरामावस्था से चलेगा, u = 0
• ब्रेक लगाने पर, v = 0
I.P = Initial Point (प्रारंभिक बिंदु)
F.P = Final Point (अंतिम बिंदु)
📐 गति का समीकरण
Let,
| s | = | विस्थापन (Displacement) |
| u | = | प्रारंभिक वेग (Initial Velocity) |
| v | = | अंतिम वेग (Final Velocity) |
| a | = | त्वरण (Acceleration) |
| t | = | समय (Time) |
| g | = | गुरुत्वीय त्वरण (Gravitational acceleration) |
| g | = | 9.8 m/s² या 10 m/s² |
Note :
छात्रों द्वारा प्रश्न बनाते समय, प्रश्न का दिया हुआ मान या उत्तर मान Fraction (9.2, 9.8, 19.6) हो तो g का मान 9.8 m/s² लेना है अन्यथा 10 m/s² लेना है।
NCERT :
• गति की परिभाषा तथा समीकरण गैलिलियो ने दिया।
• गति का नियम न्यूटन ने दिया।
| # | क्षेतिज (Horizontal) | नीचे से ऊपर (a = −g) | ऊपर से नीचे (a = +g) |
|---|---|---|---|
| 1 | v = u + at | v = u − gt | v = u + gt |
| 2 | s = ut + ½at² | s = ut − ½gt² | s = ut + ½gt² |
| 3 | v² = u² + 2as | v² = u² − 2gs | v² = u² + 2gs |
| 4 | sₙ = u + a/2(2n−1) | Sₙ = u − g/2(2n−1) | Sₙ = u + g/2(2n−1) |
Note : गति के समीकरणों के नाम और उनका संबंध (माना u=0, a=0)
- प्रथम v = u + at — वेग, समय को बताता है
- द्वितीय s = ut + 1/2 at² — विस्थापन, समय को बताता है
- तृतीय v² = u² + 2as — विस्थापन, वेग को बताता है
• विस्थापन को स्थिति भी कहते हैं।
• S ∝ t², त्वरण नियत
• V ∝ t, त्वरण नियत
⚖️ समांगता का सिद्धांत (Principle of Homogenity)
समांगता के सिद्धांत के अनुसार प्रत्येक पद का मात्रक और विमा समान होता है।
Ex: V = u + at की जाँच
| पद | मात्रक | विमा |
|---|---|---|
| V | ms⁻¹ | [LT⁻¹] |
| u | ms⁻¹ | [LT⁻¹] |
| at | ms⁻² × s = ms⁻¹ | [LT⁻¹] |
Ex: V² = u² + 2as की जाँच
| पद | मात्रक | विमा |
|---|---|---|
| V² | (ms⁻¹)² = m²s⁻² | [L²T⁻²] |
| u² | (ms⁻¹)² = m²s⁻² | [L²T⁻²] |
| 2as | ms⁻² × m = m²s⁻² | [L²T⁻²] |
Ex: S = ut + ½at² की जाँच
| पद | मात्रक | विमा |
|---|---|---|
| S | m | [L] |
| ut | ms⁻¹ × s = m | [L] |
| ½at² | ms⁻² × s² = m | [L] |
Q.
नीचे दिये गए समीकरण में अगर a और b नियतांक है तो a और b की मात्रक और विमा क्या होगी?
(P + a/v²)(v − b) = RT
Sol :
समांगता के सिद्धांत से–
P = a/v² → a = Pv²
a = kgms⁻² / m² × (m³)² = kgm⁵s⁻²
a = [ML⁵T⁻²]
समांगता के सिद्धांत अनुसार–
v = b → b = v → b = m³ → b = [L³]
जहाँ: a,b = नियतांक | P = दाब | R = सार्वत्रिक गैस नियतांक | V = आयतन | T = तापमान
📈 ग्राफ (Graph)
विस्थापन-समय ग्राफ (s-t graph)
- 1. वेग घटता है।
- 2. वेग बढ़ता है।
- 3. वेग समान रहता है।
- 4. विरामावस्था
- 5. असंभव है।
NCERT :
विस्थापन ∝ t तो एक समान वेग।
वेग-समय ग्राफ (v-t graph)
- 1. एकसमान वेग (त्वरण = 0)
- 2. त्वरण बढ़ेगा
- 3. त्वरण घटेगा
- 4. एकसमान त्वरण
- 5. असंभव है।
Note :
1. वेग समय ग्राफ में दूरी निकालने के लिए क्षेत्रफल निकालते हैं।
2. विस्थापन समय ग्राफ की प्रवणता (gradient) वेग दर्शाता है।
3. वेग समय ग्राफ की प्रवणता (gradient) त्वरण दर्शाता है।
NCERT ExemplarQ.
नीचे दिया गया v-t ग्राफ देखें। 15 sec में तय की गई दूरी क्या होगी?
Sol :
15 sec में दूरी = 15 × 40 = 600m
Q.
10 sec में तय की गई दूरी क्या होगी?
Sol :
10 sec में दूरी = ½ × 5 × 20 + 5 × 20
= 50 + 100 = 150 m
✅ Objective Questions (MCQ)
Q.1 एक पिंड, वेग 'u' से ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंका जाता है। इसके ऊपर उठने की अधिकतम ऊँचाई 'h' होगी– NCERT Exemplar
उत्तर-(b)
Q.2 किसी गतिमान पिंड के लिए विस्थापन तथा दूरी का आंकिक अनुपात क्या होता है– NCERT Exemplar
उत्तर-(d)
Q.3 यदि किसी पिंड का विस्थापन, समय के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है, तो वह वस्तु गमन करती है– NCERT Exemplar
उत्तर-(b)
Q.4 मान लीजिए कोई लड़का 10 m/s⁻¹ की नियत चाल से चल रहा "गोरी सो राउंड" झूले पर सवारी करने का आनंद ले रहा है। इससे ज्ञात होता है कि यह लड़का– NCERT Exemplar SSC स्नातक स्तरीय-2019
उत्तर-(c)
Q.5 v-t ग्राफ द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल किसी भौतिक राशि को निरूपित करता है जिसका मात्रक है– NCERT Exemplar
Q.6 दिए गए v-t ग्राफ से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पिंड– NCERT Exemplar
Q.7 चार A, B, C तथा D किसी समतल सड़क पर गति करते है। इनके दूरी-समय ग्राफ में दर्शाए गए हैं। सही कथन चुनिए– NCERT Exemplar
Q.8 चित्र का कौन-सा ग्राफ एकसमान गति का सही निरूपण करता है? NCERT Exemplar
उत्तर :
एकसमान गति में v-t ग्राफ क्षैतिज सरल रेखा (horizontal straight line) होती है, जो option (a) में दिखाया गया है।
Q.9 वेग-समय ग्राफ की प्रवणता से प्राप्त होता है– NCERT Exemplar
उत्तर-(c)
Q.10 नीचे दिए गए प्रकरणों में से किसमें, चली गई दूरी तथा विस्थापन के परिमाण समान होते हैं? NCERT Exemplar
उत्तर-(a)
Q.11 सरल रेखीय पथ के अनुदिश त्वरित गति से गतिमान पिंड के लिए नीचे दिए गए कथनों में कौन-सा सही नहीं है? NCERT Exemplar
उत्तर :
सरल रेखीय त्वरित गति में — दूरी ≠ विस्थापन (सदैव समान नहीं होते)। इसलिए जो कथन "दूरी = विस्थापन" कहे वह सही नहीं है।
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